Enunciado
En todo triángulo, la razón entre cada lado y el seno de su ángulo opuesto es constante e igual al diámetro de la circunferencia circunscrita (Sullivan, 2013):
Donde a, b, c son los lados del triángulo, A, B, C los ángulos opuestos a dichos lados y R el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo.
Teorema
En cualquier triángulo ABC se cumple que
sen(A) / a = sen(B) / b = sen(C) / c. Esta proporción se mantiene
independientemente de si el triángulo es acutángulo, rectángulo u obtusángulo.
Demostración (esbozo)
Consideramos el triángulo ABC y trazamos la altura h desde el vértice C hasta el lado c (lado AB). Esta altura divide al triángulo en dos triángulos rectángulos:
- En el triángulo izquierdo:
sen(A) = h / b⇒h = b · sen(A) - En el triángulo derecho:
sen(B) = h / a⇒h = a · sen(B)
Igualando las dos expresiones:
De forma análoga, si trazamos la altura desde A (o desde B), obtenemos la tercera igualdad, completando la demostración (Stewart, Redlin y Watson, 2012).
Relación con el circunradio
Si inscribimos el triángulo en una circunferencia de radio R, usando el teorema del
ángulo inscrito se demuestra que cada uno de los cocientes es exactamente
2R. De aquí se obtiene la versión más rica de la ley de senos.
¿Cuándo usar la ley de senos?
La ley de senos es la herramienta adecuada cuando los datos del problema incluyen al menos un par lado–ángulo opuesto conocido. Los casos clásicos son:
Ángulo–Ángulo–Lado
Conoces dos ángulos y un lado no adyacente a ambos. Siempre hay una única solución.
Ángulo–Lado–Ángulo
Conoces un lado y los dos ángulos que lo tocan. Siempre hay una única solución.
Lado–Lado–Ángulo
Caso ambiguo: puede haber 0, 1 o 2 soluciones posibles. Ver sección siguiente.
El caso ambiguo (SSA)
En el caso SSA conocemos dos lados a, b y un ángulo A opuesto a uno de ellos.
Según la relación entre a y h = b · sen(A), el número de triángulos posibles varía
(Larson, 2015):
| Condición | Número de soluciones | Observación |
|---|---|---|
| a < h | 0 | El lado es demasiado corto para alcanzar la base |
| a = h | 1 | Triángulo rectángulo |
| h < a < b | 2 | Dos triángulos distintos posibles (agudo y obtuso) |
| a ≥ b | 1 | Un único triángulo |
Precaución
Al despejar un ángulo con arcsen, recuerda que arcsen devuelve un ángulo agudo.
El segundo ángulo posible es su suplementario (180° − resultado). Comprueba siempre
que la suma de los ángulos no exceda 180°.
Calculadora interactiva
Selecciona el caso, introduce los datos conocidos y observa la solución junto al triángulo trazado a escala. Puedes arrastrar los vértices azules para modificar el triángulo dibujado.
Resolver triángulo
Ejemplo resuelto
Enunciado
En un triángulo ABC se sabe que A = 35°, B = 72° y a = 12 cm. Calcular los demás lados y el ángulo restante.
Paso 1: calcular el ángulo C usando la suma de ángulos internos:
Paso 2: aplicar la ley de senos para hallar b:
Paso 3: aplicar nuevamente la ley para hallar c:
Puedes verificar el resultado en la calculadora usando el caso AAS.
Aplicaciones prácticas
- Topografía: medir distancias inaccesibles (ríos, valles) desde dos puntos visibles.
- Navegación: triangulación para determinar la posición de una embarcación.
- Astronomía: cálculo de distancias estelares por paralaje trigonométrica.
- Ingeniería: análisis de estructuras de celosías y cerchas.
“La trigonometría es la matemática de los triángulos y con ella se miden los cielos y la tierra.”
Referencia
Para una exposición más profunda, consulte Precálculo: matemáticas para el cálculo (Stewart et al., 2012) o la página dedicada a Law of Sines en Wolfram MathWorld. Ver la lista completa de referencias.