Introducción
Un polígono irregular es un polígono cuyos lados y ángulos no son todos iguales. A diferencia de los polígonos regulares, no existe una única fórmula cerrada; en su lugar, disponemos de varios métodos según los datos disponibles (Zill y Dewar, 2012).
Definición
El área de una figura plana se define como la medida de la región que encierra. Para polígonos, se expresa en unidades cuadradas: m², cm², km², etc.
Los cinco enfoques que estudiaremos son:
- Fórmula de Herón — conocidos los tres lados de cada triángulo (SSS).
- Área por SAS — conocidos dos lados y el ángulo incluido.
- Triangulación — descomponer el polígono en triángulos desde un vértice.
- Fórmula de Gauss (Shoelace) — cuando se conocen las coordenadas de los vértices.
- Regla del trapecio — para contornos definidos por puntos o funciones.
1. Fórmula de Herón
Atribuida a Herón de Alejandría (c. 10–70 d.C.) en su obra Métrica, calcula el área de un triángulo a partir de sus tres lados:
s es el semiperímetro. La fórmula es especialmente útil porque no requiere conocer ningún ángulo.
Calculadora de Herón
2. Área de triángulo por SAS
Cuando conocemos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos (SAS), el área es simplemente la mitad del producto de los lados por el seno del ángulo (Sullivan, 2013):
¿Por qué?
En el triángulo, la altura sobre el lado a es h = b · sen(C) (en el triángulo
rectángulo auxiliar formado al bajar la altura). El área es base × altura / 2 = (1/2)·a·b·sen(C).
Este método es la herramienta clave para la triangulación, que vemos a continuación.
3. Triangulación
Todo polígono convexo se puede dividir en n − 2 triángulos trazando diagonales desde un vértice fijo. El área total es la suma de las áreas de estos triángulos:
Polígonos cóncavos
Para polígonos cóncavos, la triangulación desde un vértice puede incluir triángulos fuera del polígono. En ese caso conviene triangular desde un punto interior o usar la fórmula de Gauss (siguiente método), que maneja ambos casos.
Los pasos para aplicar la triangulación son:
- Elige un vértice V₀ del polígono.
- Traza diagonales desde V₀ a todos los demás vértices no adyacentes.
- Para cada triángulo formado, calcula su área (por Herón, SAS o coordenadas).
- Suma las áreas: ese es el área del polígono.
4. Fórmula de Gauss (del cordón / Shoelace)
Publicada por Carl Friedrich Gauss (1795), es el método más elegante cuando se conocen las coordenadas de los vértices. Para un polígono con vértices (x₁, y₁), (x₂, y₂), …, (xₙ, yₙ) en orden, el área es:
El nombre shoelace (cordón) viene del patrón en «zig-zag» al calcular los productos: multiplicas cada x por la siguiente y, y viceversa, como cordones cruzados.
Ejemplo
Cuadrilátero con vértices (0,0), (4,0), (5,3), (1,4):
2A = (0·0 − 4·0) + (4·3 − 5·0) + (5·4 − 1·3) + (1·0 − 0·4)
2A = 0 + 12 + 17 + 0 = 29 ⇒ A = 14.5 unidades²
Ventajas
Funciona con polígonos convexos y cóncavos; no requiere calcular ángulos; es la base de las herramientas de GIS (SIG) para medir parcelas irregulares (Weisstein, 2023).
5. Regla del trapecio
Cuando el contorno del polígono está dado por una función o por puntos equidistantes, se aplica la regla del trapecio, usada en integración numérica:
Donde h es la distancia entre puntos consecutivos (espaciamiento), y yᵢ son las ordenadas (alturas) en cada punto.
Es el método estándar en topografía para medir áreas de terrenos a partir de una línea base y ordenadas perpendiculares tomadas en campo.
Polígono interactivo
Haz clic en el lienzo para añadir vértices; arrastra los puntos para moverlos. El área se recalcula automáticamente por los tres métodos principales.
Dibuja tu polígono
Tip
Activa "Mostrar triangulación" abajo para ver cómo se descompone el polígono.
Comparativa de métodos
| Método | Datos requeridos | Mejor para | Complejidad |
|---|---|---|---|
| Herón | 3 lados del triángulo | Triangulación sin ángulos | O(1) |
| SAS | 2 lados + 1 ángulo | Cuando hay ángulos conocidos | O(1) |
| Triangulación | Vértices o lados del polígono | Polígonos convexos | O(n) |
| Gauss/Shoelace | Coordenadas (x, y) | Cualquier polígono (conv./cónc.) | O(n) |
| Trapecio | Puntos equidistantes | Contornos funcionales, topografía | O(n) |
“La matemática no conoce razas ni límites geográficos; para ella el mundo cultural es un solo país.”
Lecturas recomendadas
Para profundizar consulta Precálculo (Zill y Dewar, 2012), Trigonometría (Gelfand y Saul, 2001) y la entrada Shoelace Formula en MathWorld (Weisstein, 2023). Ver la lista completa de referencias.