Ley de Cosenos | Trigonometría Interactiva

Enunciado

En cualquier triángulo con lados a, b, c y ángulos opuestos respectivos A, B, C, se cumple que:

Ley de cosenos c² = a² + b² − 2ab · cos(C)

Y de forma análoga:

a² = b² + c² − 2bc · cos(A)

b² = a² + c² − 2ac · cos(B)

Despejando el coseno del ángulo:

cos(C) = (a² + b² − c²) / (2ab)

Caso particular: Pitágoras

Si el triángulo es rectángulo con ángulo recto en C, entonces cos(90°) = 0 y la fórmula se reduce a c² = a² + b², es decir, el teorema de Pitágoras. La ley de cosenos es por ello una generalización de este.

Breve historia

Aunque resultados equivalentes a la ley de cosenos ya aparecen en los Elementos de Euclides (proposiciones II.12 y II.13, c. 300 a.C.), la formulación moderna se atribuye al matemático y astrónomo persa Jamshīd al-Kāshī (c. 1380–1429), quien la enunció explícitamente en su obra Miftāḥ al-Ḥisāb (1427). Por esta razón, en Francia la ley se conoce como el théorème d'Al-Kashi.

“No hay rama de la matemática, por abstracta que sea, que no pueda un día ser aplicada a fenómenos del mundo real.”
— Nikolái Lobachevski (1792–1856)

Demostración (vectorial)

Sea el triángulo ABC con lados a, b, c representados como vectores. Considerando los vectores u = CA (con magnitud b) y v = CB (con magnitud a), el lado opuesto al ángulo C es el vector AB = v − u, cuya magnitud es c.

Calculamos el módulo al cuadrado mediante el producto escalar:

c² = |v − u|² = (v − u) · (v − u)

c² = v·v − 2 (u·v) + u·u = a² + b² − 2(u·v)

Dado que el producto escalar cumple u·v = |u||v|cos(θ) = a·b·cos(C):

c² = a² + b² − 2ab · cos(C)

(Swokowski y Cole, 2011, cap. 8).

¿Cuándo usar la ley de cosenos?

SAS

Lado–Ángulo–Lado

Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. Se obtiene el tercer lado directamente con c² = a² + b² − 2ab·cos(C).

SSS

Lado–Lado–Lado

Los tres lados del triángulo. Se despeja cada ángulo con cos(X) = (suma cuadrados − cuadrado opuesto) / (2·producto).

⚠

No usar en AAS/ASA

Cuando conoces dos ángulos, usa la suma = 180° y la ley de senos. La ley de cosenos solo aporta información nueva si tienes tres lados o dos lados con ángulo entre ellos.

Calculadora interactiva

Resolver triángulo

Triángulo a escala

Ejemplo resuelto

Enunciado

En un triángulo se conocen a = 7, b = 9 y el ángulo C = 60° entre ellos. Calcular el lado c y los otros dos ángulos.

Paso 1: Aplicar la ley de cosenos:

c² = 7² + 9² − 2·7·9·cos(60°) = 49 + 81 − 63 = 67

c = √67 ≈ 8.185

Paso 2: Despejar el ángulo A:

cos(A) = (b² + c² − a²) / (2bc) = (81 + 67 − 49) / (2·9·8.185) ≈ 0.6714

A = arccos(0.6714) ≈ 47.89°

Paso 3: El ángulo B se obtiene por suma de ángulos:

B = 180° − 60° − 47.89° ≈ 72.11°

¿Ley de senos o ley de cosenos?

Esta tabla resume qué herramienta aplicar según los datos conocidos:

Datos conocidos	Herramienta	Observaciones
AAS / ASA	Ley de senos	Solución única
SSA	Ley de senos	Caso ambiguo: 0, 1 o 2 soluciones
SAS	Ley de cosenos	Calcula el tercer lado, luego senos para los ángulos
SSS	Ley de cosenos	Despeja los ángulos uno a uno
AAA	Ninguna da medidas	Infinitos triángulos semejantes

Recomendación práctica

Cuando tengas libertad, prefiere la ley de cosenos para calcular el mayor ángulo: como arccos es único en [0°, 180°], evitas ambigüedades. Reserva la ley de senos para calcular los dos ángulos restantes (que serán agudos).